洛谷P1806跑步[NOI导刊]
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作者：crxis 发布：2021-05-10 分类：递推
题目大意：将n进行自然数拆分，要求每个位置数字不一样，共有多少种方案？
题目描述
路人甲准备跑 $n$ 圈来锻炼自己的身体，他准备分多次（$\gt1$）跑完，每次都跑正整数圈，然后休息下再继续跑。
为了有效地提高自己的体能，他决定每次跑的圈数都必须比上次跑的多。
可以假设他刚开始跑了 $0$ 圈，那么请问他可以有多少种跑完这 $n$ 圈的方案？
输入输出格式
输入格式
一行一个整数，代表 $n$。
输出格式
一个整数表示跑完这 $n$ 圈的方案数。
输入输出样例
输入样例 #1
212输出样例 #1
995645335说明
对于 $100\%$ 的数据，保证 $5\le n\le 500$。
解题思路
暴力记忆化：若干个格子，上一个格子填的是p-1，还剩下s没拆分，那么这个格子填p~s，填完得到1种方案，记忆化可通过。
递推方案：f[i][j]表示跑i圈，最后一次为j圈的方案数，那么之前的状态是跑了i-j圈，最后一次可以是1~j-1圈，当然也必须不超过i-j。
程序实现
爆搜，时间复杂度$O(n^3)$
递推，不判断k是否超过i-j也行，因为默认为0，时间复杂度$O(n^3)$
前缀和优化：s[i][j]表示跑i圈，最后一圈不超过j的方案数。
降维优化，依次算出跑n圈，最后一圈是1、2、3、……n的方案数，累计起来。
